??? 干涉法測量是物理實驗中的基本測量方法,邁克爾遜干涉儀(簡稱邁氏干涉儀)干涉實驗就是其中一個典型實驗。主要內(nèi)容為觀察干涉條紋及其變化,以及據(jù)此測量一些物理量。幾乎所有大學(xué)物理和實驗教材都只介紹干涉圓條紋和直線干涉條紋,而對橢圓和雙曲線干涉條紋則避而不談[1~3]。在實驗教學(xué)中,筆者在一臺邁氏干涉儀(WSM-100型,杭州光學(xué)儀器廠生產(chǎn))上成功地調(diào)制出橢圓和雙曲線干涉條紋。多年指導(dǎo)物理實驗教學(xué)的實踐使筆者感到現(xiàn)行物理實驗教材中有關(guān)邁氏干涉儀產(chǎn)生干涉條紋的理論推導(dǎo)不很透徹,對學(xué)生理解實驗幫助不大。而普通物理論教材中恰恰又沒有這部分內(nèi)容。本文從波動理論出發(fā),對邁氏干涉儀產(chǎn)生各種干涉條紋的干涉機理分別用解析法、圖解法進行分析并作比較。
????1 解析法
??? 圖1是邁氏干涉儀的光路圖,首先依次進行以下四個等效分析。
??? (1)激光器的平行光束通過透鏡等效于一個單色點光源S;
??? (2)點光源S在分光板G里成一虛點光源S′,見圖2 (a);
??? (3)定鏡M1在G里成一虛像M′1,見圖2(b);
??? (4) S′在平面鏡M2和M′1里成兩個虛的點光源S′1和S′2,見圖2 (c)。
??? 至此,用激光照射的干涉儀等效于兩個單色點光源S′1、S′2,由于兩個點光源是由同一點光源S′等效過來的,當(dāng)然是相干的。
??? 兩個相干點光源所產(chǎn)生的干涉條紋在xy平面上有相距2a的兩個相干點光源S′1、S′2(如圖3所示)。xy平面上任意一點P(x、y)的光強為:
??? 至此,用激光照射的干涉儀等效于兩個單色點光源S′1、S′2,由于兩個點光源是由同一點光源S′等效過來的,當(dāng)然是相干的。
??? 兩個相干點光源所產(chǎn)生的干涉條紋在xy平面上有相距2a的兩個相干點光源S′1、S′2(如圖3所示)。xy平面上任意一點P(x、y)的光強為:
??? 其中I1, I2為S′1, S′2單獨存在時對P點的光強貢獻,ΔL則為S′1P與S′2P之間的光程差。令:ΔL=2b±nλ, n=0,1,2,…這時I(P)具有極大值。即要求: (x+a)2+y2-(x-a)2+y2=±2b ,由此計算出代表一系列亮條紋的等位相面是一組雙曲線(見圖3)。
??? 其中I1, I2為S′1, S′2單獨存在時對P點的光強貢獻,ΔL則為S′1P與S′2P之間的光程差。令:ΔL=2b±nλ, n=0,1,2,…這時I(P)具有極大值。即要求: (x+a)2+y2-(x-a)2+y2=±2b ,由此計算出代表一系列亮條紋的等位相面是一組雙曲線(見圖3)。
??? 顯然,干涉場是以x軸為對稱軸。因此在三維空間,等位相面是以x為軸的雙曲旋轉(zhuǎn)面。
??? 顯然,干涉場是以x軸為對稱軸。因此在三維空間,等位相面是以x為軸的雙曲旋轉(zhuǎn)面。
??? 這樣一系列雙曲線旋轉(zhuǎn)面描述了兩個點光源S′1、S′2所形成的干涉場。
??? 在觀察邁氏干涉儀干涉條紋時,往往用一屏幕(毛玻璃)放在一定位置接收,所以看到的是干涉場在一平面上的分布。現(xiàn)分下列幾種情況討論。
??? (1)圓條紋 當(dāng)屏幕垂直x軸且離0點為C處(如圖3位置Ⅰ),顯然亮條紋是一組同心圓,其半徑可由式(3)求得:
??? 這樣一系列雙曲線旋轉(zhuǎn)面描述了兩個點光源S′1、S′2所形成的干涉場。
??? 在觀察邁氏干涉儀干涉條紋時,往往用一屏幕(毛玻璃)放在一定位置接收,所以看到的是干涉場在一平面上的分布。現(xiàn)分下列幾種情況討論。
??? (1)圓條紋 當(dāng)屏幕垂直x軸且離0點為C處(如圖3位置Ⅰ),顯然亮條紋是一組同心圓,其半徑可由式(3)求得:
??? 如果2a為波長的整數(shù)倍,則在x軸上(即r=0)ΔL=2a應(yīng)為一亮點,亮點外第m個同心圓的光程差ΔL=2b=2a-mλ,即
??? 如果2a為波長的整數(shù)倍,則在x軸上(即r=0)ΔL=2a應(yīng)為一亮點,亮點外第m個同心圓的光程差ΔL=2b=2a-mλ,即
??? 當(dāng)只考慮最高幾級干涉條紋時,可以認為a m.λ2,同時考慮到c b,作近似計算,由(4)式,得出第m個圓環(huán)的半徑為:
??? 當(dāng)只考慮最高幾級干涉條紋時,可以認為a m.λ2,同時考慮到c b,作近似計算,由(4)式,得出第m個圓環(huán)的半徑為:
??? 由(5)式可看到,當(dāng)c愈大,即屏幕愈遠,而a愈小,即S′1、S′2相距愈近時,這一組同心圓的半徑愈大。
??? (2)直線干涉條紋 當(dāng)屏幕垂直y軸,且y=c處,相當(dāng)于圖3中Ⅱ位置,則(3)式變?yōu)?
??? 由(5)式可看到,當(dāng)c愈大,即屏幕愈遠,而a愈小,即S′1、S′2相距愈近時,這一組同心圓的半徑愈大。
??? (2)直線干涉條紋 當(dāng)屏幕垂直y軸,且y=c處,相當(dāng)于圖3中Ⅱ位置,則(3)式變?yōu)?
??? 顯然,這是一組雙曲線。假設(shè)干涉級別很小,即b=nλ2 a,則有x2b2-z2a2=c2a2,如果觀察的視場很小,即z的變化范圍比c小很多,則有
??? 這是一組垂直于xy平面的等間距平行線,其間距為c2aλ
?? ?(3)橢圓和雙曲線干涉條紋 如果屏幕不在圖3的Ⅰ或Ⅱ位置,則屏幕上接收到的將是橢圓或雙曲線干涉條紋。令屏幕的法線在xoy平面上,法線與屏幕交于x0, y0,法線與x軸成θ角,取屏幕上坐標ξ, z (見圖4)。x, y坐標與ξ坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系為
??? 將(8)式代入(3)式,得?
??? 將式(9)展開后,得到ξ2項的系數(shù)為(sin2θb2-cos2θa2-b2), (9)式是ξ, z坐標上的二次曲線,當(dāng)z2與ξ2的系數(shù)同號,則曲線為橢圓,現(xiàn)z2項的系數(shù)為負值,故橢圓條紋出現(xiàn)的條件?
??? 如不滿足此條件,則屏幕上的干涉條紋就是雙曲線。一般講,如a一定,則θ角愈小,干涉級愈高,得到條紋常為橢圓(如圖3中Ⅲ位置)。否則,則得到雙曲線條紋(如圖3Ⅳ位置)。
??? 2 圖解法
??? 由上面討論知兩個相干點光源所形成的干涉場是一系列雙曲線旋轉(zhuǎn)面(如圖5所示)。邁氏干涉儀在調(diào)整過程中,屏幕上會出現(xiàn)什么形狀的干涉條紋,取決于M2與M′2(即S′1與S′2)的位置關(guān)系,以及屏幕與二點光源的連線成什么關(guān)系
??? (1)如果激光束垂直定鏡M1且M1垂直M2,那么屏幕與S′1S′2連線垂直,屏幕與雙曲線旋轉(zhuǎn)面相截的結(jié)果產(chǎn)生同心圓的干涉條紋,如圖6所示。
??? (2)如果M′1與M2相交,且有一個微小的夾角,這相當(dāng)于兩個對頂?shù)目諝馀?應(yīng)該產(chǎn)生等厚干涉,在此情況下,由作圖可見,S′1S′2的連線幾乎與屏幕平行,屏幕與雙曲線旋轉(zhuǎn)面交線的形狀為中間是直線,兩邊對稱分布的雙曲線,見圖7。
??? (3)如果M′1與M2不平行又不相交,那么屏幕與雙曲面相截的軌跡為橢圓,見圖8。
??? 解析法是圖解法的基礎(chǔ),很嚴謹,但過程不直觀;圖解法直觀,易理解,二者結(jié)合起來相得益彰,對學(xué)生理解實驗及操作儀器大有好處。
????參考文獻:
??? [1] 趙凱華,鐘錫化.光學(xué)(上冊) [M].北京:北京大學(xué)出版社, 1985.
? ? [2] 孫柏忠.物理光學(xué)(上冊) [M].武漢:華中理工大學(xué)出版社, 1986.
??? [3] 張士欣.基礎(chǔ)物理實驗[M].北京:北京科學(xué)出版社, 1997.
